그게 어떠한 형태이든 형태가 없는 것이던, '수'는 인류의 삶과 함께해왔다.
태초의 인류는 멧돼지 '두'마리, 사과 '한'개 등과 같이 셀 수 있는 수에만 집중해왔다.
그러나 의식주가 해결되고나서 부터는 무언가 다른 점들이 인간에게 생각을 시키기 시작하였다.
"옆 마을에서 사과 100개를 선물로 주었는데 우리가 가진 사과는 200개이다. 우리는 몇개의 사과를 가지고 있는가?"
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100개에서 200개를 더가지고있다, 인류는 "더" 가지게 되었다의 의미를 생각하게된다.
100 (더 가지게되다) 200 = 300.
인류는 100보만큼의 거리에서 200보만큼을 더 걸었을때, 결국엔 300보를 걸은것이 된다는 사실을 자연적으로 인지하게된다. 그리고, 300보에서 다시 10개 만큼을 먹었을때, 10보만큼을 뒤로 후진하게되면 290보를 걸은것이 된다는 사실을 인지한다.
여기서 "더하기" 와 "빼기" 라는 대수학의 태초가 시작된다.
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그런데 여기서 한 똘똘한 사람이 한 가지 재밌는 사실을 깨닫는다.
"작년에도 사과 100개를 선물받았고, 올해에도 사과 100개를 선물받았으니 사과 100개를 "두 번" 받은것이되네?"
두 번, 세 번, 네 번.. 이 몇번째의 의미는 무엇일까?
인류는 이번의 문제는 단순히 걸음걸이 보만으로는 해결할 수 없을것같다는 느낌을 받는다. 100개가 "두번" 있으면 200개이다. 만약 100개를 몇번받았는데 그게 200개라면, 그건 "두번" 받은 것이다.
인류는 '정의'를 내리기 시작한다.
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이후 수천년간 빙하기를 거치며 인류는 세상의 모든 진리를 습득했다고 생각한다.
그런데 고대의 인도에서 이 태초의 사칙연산에 누군가 의문을 품는다.
"만약 10에서 10을 빼면 이것도 수인가?"
여기서 아주 기이하고 신비로운 숫자 "0"이 탄생한다.
그러나, 아주 신비로우면서도 감미로운 이 새로운 발견들에, 인류의 호기심은 끝나지 않는다.
10에서 11을 빼면 그것도 수인가? 아무것도 없는 것보다 더 작을 수 있는가? 아무것도 없는 것에서 아무것도 없는 번만큼 곱하면 어떻게되나?
여기서 인류의 대수학을 폭발적으로 발전시킬 어떤 발명가가 등장한다
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[Robert Recorde 1510 Uk - 1558 Welsh Physician]
"무의미한 반복적인 말들을 생략하기 위해, 두개의 평행선(=)을 "~와 같다"라는 기호로 "정의"한다."
Robert Recorde는 +, -를 비롯한 사칙연산의 기호와 =의 부호를 수학에 도입함으로써 인류의 "사과 100개가 있었는데 옆마을에서 200개를 받으면 300개를 가진게 된다" 에서 "100 + 200 = 300", "100 x 2 = 200", "200 ÷ 2 = 100" "300-10 = 290" 으로 아주 간단한 연산체계를 가지게만든다.
인류는 최단시간에 자신의 의문점을 아주 간단한 수식으로 쓸 수 있게된다.
여기서부터 시작되는 대수학적 의문
10 - 11 = ?
5 ÷ 3 = ?
그러나 이는 이미 기원전의 그리스의 한 수학자가 이미 결론지은 문제였다.
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[Pythagoras BC 570 - BC 490]
"모든 수는 분수(fraction)라는 수체계로써 표현가능하다"
피타고라스는 모든 수체계는 3/5, 4/7과 같이 분수체계로 정의될 수 있다고 믿었다. 그리고 유클리드의 기하원론에서 확장하여 직각삼각형 세변을 이용한 획기적인 공식을 발견한다.
'... It states that the square of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the other two sides.'
'... 직각삼각형의 직각의 대변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다."
고대 그리스에서 발견된 "수학적 진리". 피타고라스는 모든 수는 결국 이 직각삼각형의 변에 대입되면 분수의 꼴로 나타날 수 밖에는 없다라고 믿었다.
그러나 불행하게도, 피타고라스 자신의 진리는 자신의 진리를 깨부숴버리는 또다른 진리를 낳는다.
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[Hippasus BC 500 - ?]
"직각의 대변이 아닌 두변이 각각 같은 직각삼각형의 대변의 길이는 분수인가?"
피타고라스 학파의 일원이었던 Hippasus는 두변의 길이가 같은 직각삼각형의 대변은 지금까지 존재하던 피타고라스의 유리수 체계에는 존재하지 않는다는 것을 알게된다.
"√2를 무리수가 아닌 유리수라 가정하고, √2 = p/q로 놓는다. 이 때 p와 q는 서로소이다. 양변을 제곱하여 p² = 2q²로 만든다. p²은 짝수이므로 p도 짝수이다 (p²=2q²이므로). p = 2k로 놓고, 위의 식에 대입한다. 4k² = 2q² 이므로, 2k² = q² 이다. 그러므로 q 역시 짝수이다. p와 q가 모두 짝수면 서로소가 아니므로 가정에 모순된다."
만약 값이 분수라면, 분수꼴로 변형될 수 있어야한다.
이를 분수꼴로 나타내면, 이는 결국 무한히 통분되는 분수를 낳게된다.
이는 지금껏 보아왔던 피타고라스의 유리수와는 전혀다른 체계의 수이다.
이를 "무리수"는 피타고라스에게 납득될 수 없던 진리였기에 결국 히파수스를 암살하였다고 전해진다. (혹은 히파수스를 제물로 바쳤다고도 전해진다)
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[Pythagoreanism 피타고라스 학파 -Fyodor Bronnikov]
이런 역사를 가진 무리수는 대수학을 폭발적으로 발전시킨다.
대수학적 공리계 안에서 존재하는 수많은 함수들이 발전되면서, 무리수는 각별한 관심을 받게된다.
그러나 인류의 호기심은 여기서 끝이 아니었다.
16세기 프랑스의 한 시골에서, 근대철학과 근대수학의 문을 연 한 경이로운 천재가 등장한다
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[René Descartes 1596 - 1650]
"2차방정식 x^2 = (-1)의 해를 만족시키는 값은 존재하는가"
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이차함수(Quadratic function) x^2 = f(x) 에서 vertex point (0,0) 밑으로는 어떠한 함수값도 존재하지 않는다.
그러나, 존재하지 않는것이 존재하는가?
몸이 불편해서 늘 침대에 누워지냈던 데카르트는 직선으로 이루어진 천장의 파리의 구체적인 위치를 나타낼 수 있는 방법을 생각하다가, 직교좌표계(Coordinate plane)를 생각해낸다.
곧, 수많은 다항고차함수(Polynomial function)들이 직교좌표에 그려지게 된다. 그러나 데카르트에게있어 2차함수에서 한가지 의문을 낳는점은 밑으로 존재하지않는 함수값은 존재하지 않는가였다.
이 아이디어를 이어받아, 데카르트의 시대에 활동하던 또다른 스위스의 천재수학자가 등장한다.
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[Leonhard euler 1707 - 1783 "the father of mathematical analysis"]
이차함수 x^2 = f(x)의 vertex point밑으로 존재하지 않는 함수값이 존재한다고 "정의"하자.
그리고 이를 허수값 i (i^2 = -1)라 부르기로 "정의"한다.
이로써, 집합론의 유리수 집합[Q] 밖의 또다른 수체계 허수[I]가 등장한다. 수학자들은 이를 복소수 체계[C]라 부르기로 정의한다.
이로써 해석학, 컴퓨터공학, 근대물리학은 폭발적으로 발전하기 시작한다.
시간은 상대적으로 계의 속도에 따라 다른 물리변화량이다.
로렌츠 요소(Lorentz factor), 1/√(1-v^2/c^2)) 에 의거한 아인슈타인은 "계의 속도가 빛의 속도를 넘어서는순간, 시간은 허수값을 가지며 흐른다"는 특수 상대성 이론을 정립하는 등, 물리학, 해석학 등은 엄청난 발전을 한다.
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[Albert Einstein 1879 - 1955]
복소수의 발전은 대수학 뿐만 아니라 모든 분야에서 많은 산물을 낳았다. 복소수체계로 인한 3그래픽과 컴퓨터공학 및 암호학은 매우 근대적으로 발전했다.
그런데, 인간의 호기심은 아직도 끝나지 않았다.
19세기 영국 글래스고에서 한 물리수학자가 등장한다.
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[Sir William Hamilton, 9th Baronet 1788-1856]
'복소수[C] 밖의 3차원공간에서 환[Ring 대수학의 구조]을 이루는 수체계는 존재하는가'
허수단위와 똑같이, 해밀턴은 j와 k 값을 생각하기 시작한다.
'i^2 = -1 j^2 = -1 k^2 = -1, ijk = -1 , i ≠ j ≠ k 가정하자, 이는 3차원 환을 이루는가'
해밀턴에 의해 복소수 밖의 외계적 수체계가 등장한다. 이를 사원수(Quaternion)이라 정의하고, [H]라 부르기로 정의한다.
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해석기하학적으로 설명하자면, 허수체계는 2차원에서 평면의 회전을 담당하지만, 해밀턴의 사원수는 "3차원" 공간에서의 회전을 담당한다.
이로써 3차원 공간의 유체역학이 발달하기 시작한다.
라이트형제로 인해서 발전된 비행기는, 해밀턴의 사원수와 함께 비행이 정밀하게 공학적으로 발전되어 결국 오늘날의 "항공기"로 발전한다.
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[해밀턴의 사원수 공간(Hamilton Quaternion plane)에서의 항공기의 분석]
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대수적으로 수학자들은 이제 수체계를 "정의"를 내리고 확장하고 싶어한다
즉, 수체계 적으로 사원수 공간이 존재하고 팔원수 공간도 (결합법칙 성립x, 4차원공간) 존재하고 16원수 공간(교환법칙 성립x, 5차원 공간) ... 도 존재한다.
과연 저것들이 어디에쓰일까? 라고 생각할 수 있겠지만, 놀랍게도 팔원수는 양자영학에서 친숙하게 쓰이며, 해밀턴의 사원수는 3차원 공간의 컴퓨터 그래픽 발전을 이끔으로써 일본, 미국의 애니메이션 발전에 거대한 공로를 이루었다.
결합법칙, 교환법칙이 성립하지 않는 8, 16원수 들은 일반적인 대수적 수로써는 쓰이지 않는다. 이는 어떤 문제를 해결하기 위한 알고리즘 도구 정도로 쓰이는 수체계라고 볼수도 있다. (2^n 에 해당하는 수들은 모두 2^ n원수를 가진다) 다만, 현재까지 수학자들이 끊임없이 낳고있는 궁금증은, 과연 3^n , 5^n 에 해당하는 원수 체계는 환을 이루지 않는가에 대한 것이며, 이원수 체계가 존재한다면 0원수 체계도 존재하는가, 혹은 그 원수체계 자체 밖의 수체계도 존재하는가이다.
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인류의 역사는 겨우 30만년이 되지 않는다. 지구 역사의 0.000001% 정도의 부분조차도 차지하지 않는 짧은 역사이다.
이 기간에 인류가 사과 100개에서 200개를 더하는 것을 계산하는 것부터, 해석학의 발전, 대수학의 발전과 해밀턴 사원수 공간을 이용한 항공기, 그래픽, 컴퓨터의 발전까지 이 모든것은 수학이 함께해왔다.
그러나 현재까지 인간이 밝혀낸 수학적 진리는 전체의 겨우 10%도 되지않는다. 아니, 어쩌면 10% 정도라도 밝혀냈다고 말하는것은 너무나 과장된 발언일 것이다.
0.1%의 조차도 제대로 밝혀내지 못하고 무수한 수학은 라 불리는 베일에 감싸져있다.
중요한점은, 이 모든 수학이 인류의 호기심이 발전시킨 산물이며, 수억개의 은하단과 수억개의 은하수, 수억개의 별들과 수억개의 행성들 사이에서 조그만 생물로 태어난 인간이 가진 "최고"의 유산이라는 것이다.
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[Riemann Gamma function Γ(n) = (n−1)!]
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